Как правильно пишется слово "заутюживаться"?

заутюживаться
Русский орфографический словарь

заутюживать(ся), -аю, -ает(ся)

заутюживаться
Большой орфоэпический словарь русского языка

ЗАУТЮЖИВАТЬСЯ, заутюживаюсь, заутюживается \\ з[əу]тюживаться и з[уу]тюживаться, в беглой речи возможно з[у]тюживаться; заутюж[ы]ваться и заутюж[ə]ваться; в формах с сочетанием м[с’]: заутюживаемся... – заутюживае[м]ся; в форме заутюживалсязаутюжива[л]ся; в формах с сочетанием ющ: заутюживающийся... – заутюжива[йу]щийся и заутюжива[и]щийся; о произношении форм с конечными -ся, -сь см. § 145.

заутюживаться
Большой толковый словарь русского языка
ЗАУТЮЖИВАТЬСЯ см. Заутюжиться.