Как правильно пишется слово "завяливаться"?

завяливать(ся), -аю, -ает(ся)

ЗАВЯЛИВАТЬСЯ, завяливается \\ в форме завяливался – завялива[л]ся; в формах с сочетанием ющ: завяливающийся... – завялива[йу]щийся и завялива[и]щийся; о произношении форм с конечными -ся, -сь см. § 145.

ЗАВЯЛИВАТЬСЯ см. Завялить и Завялиться.