Как правильно пишется слово "застилаться"?

застилать(ся), -аю, -ает(ся)

ЗАСТИЛАТЬСЯ, застилается \\ за[с’]тилаться; в форме застилался – застила[л]ся; в формах с сочетанием ющ: застилающийся... – застила[йу]щийся и застила[и]щийся; о произношении форм с конечными -ся, -сь см. § 145.

ЗАСТИЛАТЬСЯ см. Застлать, Застлаться и Застелить.