Как правильно пишется слово "доброжелательствовать"?

доброжелательствовать, -твую, -твует

ДОБРОЖЕЛАТЕЛЬСТВОВАТЬ, доброжелательствую, доброжелательствует \\ д[ə]брожелательствовать; в формах с сочетанием ствова: доброжелательствовать, доброжелательствовал... – доброжелательс[тв]овать, в беглой речи возможно доброжелательс[т]овать; в формах с сочетанием ющ: доброжелательствующий... – доброжелательству[йу]щий и допуст. доброжелательству[и]щий.

ДОБРОЖЕЛАТЕЛЬСТВОВАТЬ, -ствую, -ствуешь; нсв. Желать добра кому-л., относиться с участием, расположением к кому-, чему-л.

Доброжелательствовать, благожелательствовать, благоволить, благоприятствовать, мирволить, покровительствовать, относиться дружелюбно, принимать участие, держать чью руку (сторону). Ср. Потворствовать и Любить.
См. благоволить, покровительствовать