Как правильно пишется слово "синиться"?

синиться
Русский орфографический словарь

синить(ся), синю, синит(ся)

синиться
Большой орфоэпический словарь русского языка

СИНИТЬСЯ, синится и допуст. синится \\ в форме синятсяси[н’ə]тся и допуст. устарелое си[н’у]тся; в форме синилсясини[л]ся; о произношении форм с конечными -ся, -сь см. § 145.