Как правильно пишется слово "прогостить"?

прогостить
Русский орфографический словарь

прогостить, -ощу, -остит

прогостить
Большой толковый словарь русского языка
ПРОГОСТИТЬ, -гощу, -гостишь; св. Пробыть в гостях в течение какого-л. времени. П. всё лето у бабушки. П. на даче у друзей.