Как правильно пишется слово "подбодряться"?

подбодрять(ся), -яю(сь), -яет(ся)

ПОДБОДРЯТЬСЯ, подбодряюсь, подбодряется \\ подбо[д]ряться; в формах с сочетанием м[с’]: подбодряемся... – подбодряе[м]ся; в форме подбодрялся – подбодря[л]ся; о произношении форм с конечными -ся, -сь см. § 145.

ПОДБОДРЯТЬСЯ см. Подбодрить и Подбодриться.