Как правильно пишется слово "затеяться"?

затеяться
Русский орфографический словарь

затеять(ся), -ею, -еет(ся)

затеяться
Большой орфоэпический словарь русского языка

ЗАТЕЯТЬСЯ, затеется \\ в форме затеялсязатея[л]ся; о произношении форм с конечными -ся, -сь см. § 145.

затеяться
Большой толковый словарь русского языка
ЗАТЕЯТЬСЯ, еется; св. Разг. Начаться, возникнуть. Затеялась драка между мальчишками. Затеялось новое дело. Затеваться, -ается; нсв.