Как правильно пишется слово "гай"?

гай
Русский орфографический словарь

гай, гая, предл. в гаю, мн. гаи, гаёв; но (в названиях населенных пунктов) Гай, Гая, предл. в Гае, напр.: Гай (город), Александров Гай (поселок)

александров гай
Русский орфографический словарь

Александров Гай, Александрова Гая (поселок) александровогайский; но: Александрово-Гайский район

сцевола гай муций
Словарь трудностей русского языка
Сцевола Гай Муций, Сцеволы Гая Муция
катулл гай валерий
Словарь трудностей русского языка
Катулл Гай Валерий, Катулла Гая Валерия